Question

已知f（x）=

a•2x+a-2

2x+1

（x∈R），若对x∈R，都有f（-x）=-f（x）成立
（1）求实数a的值，并求f（1）的值；
（2）判断函数的单调性，并证明你的结论；
（3）解不等式f（2x-1）＜

1

3

．

Answer 1

考点：函数单调性的性质,函数单调性的判断与证明,函数奇偶性的性质

专题：函数的性质及应用

分析：（1）根据条件f（-x）=-f（x）建立方程关系即可求实数a的值，并求f（1）的值；
（2）根奇函数单调性的定义即可判断函数的单调性，并证明；
（3）根据函数奇偶性和单调性的关系将不等式进行转化即可．

解答： 解：（1）由对x∈R，都有f（-x）=-f（x）成立，则函数f（x）是奇函数，则由f（0）=0，得，a=1，
则f（x）=

2x-1

2x+1

，即f（1）=

1

3

．…（4分）
（2）f（x）在定义域R上为增函数．…（6分）
证明如下：由得f（x）=

2x-1

2x+1

，
任取x₁＜x₂，
∵f（x₁）-f（x₂）=

2x1-1

2x1+1

-

2x2-1

2x2+1

=

2(2x1-2x2)

(2x1+1)(2x2+1)

 …（8分）
∵x₁＜x₂，
∴2^x₁＜2^x₂，
∴f（x₁）＜f（x₂），即则f（x₁）-f（x₂）＜0，
即则f（x₁）＜f（x₂），
∴f（x）在定义域R上为增函数．…（10分）
（3）由（1），（2）可知，不等式f（2x-1）＜

1

3

可化为f（2x-1）＜f（1），
即2x-1＜1，解得x＜1．
得原不等式的解集为（-∞，1）．…（12分）

点评：本题主要考查函数奇偶性的应用，以及函数单调性的证明，利用定义法是解决本题的关键．