Question

（2013•陕西）已知向量

a

=（cosx，-

1

2

），

b

=（

3

sinx，cos2x），x∈R，设函数f（x）=

a

•

b

．
（Ⅰ） 求f（x）的最小正周期．
（Ⅱ） 求f（x）在[0，

π

2

]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）通过向量的数量积以及二倍角的正弦函数两角和的正弦函数，化简函数为一个角的一个三角函数的形式，通过周期公式，求f （x）的最小正周期．
（Ⅱ） 通过x在[0，

π

2

]，求出f（x）的相位的范围，利用正弦函数的最值求解所求函数的最大值和最小值．

解答：解：（Ⅰ）函数f（x）=

a

•

b

=（cosx，-

1

2

）•（

3

sinx，cos2x）
=

3

sinxcosx-

1

2

cos2x
=sin（2x-

π

6

）
最小正周期为：T=

2π

2

=π．
（Ⅱ）当x∈[0，

π

2

]时，2x-

π

6

∈[-

π

6

，

5π

6

]，
由正弦函数y=sinx在[-

π

6

，

5π

6

]的性质可知，sinx∈[-

1

2

，1]，
∴sin（2x-

π

6

）∈[-

1

2

，1]，
∴f（x）∈[-

1

2

，1]，
所以函数f （x）在[0，

π

2

]上的最大值和最小值分别为：1，-

1

2

．

点评：本题考查向量的数量积以及两角和的三角函数，二倍角公式的应用，三角函数的值域的应用，考查计算能力．