Question

已知函数f（x）=(

1

3

)ax2-4x+3，
（1）若a=-1，求f（x）的单调区间；
（2）若f（x）有最大值3，求a的值．
（3）若f（x）的值域是（0，+∞），求a的取值范围．

Answer 1

考点：指数函数综合题

专题：函数的性质及应用

分析：（1）当a=-1时，f（x）=(

1

3

)-x2-4x+3，令g（x）=-x²-4x+3，结合指数函数的单调性，二次函数的单调性和复合函数的单调性，可得f（x）的单调区间；
（2）令h（x）=ax²-4x+3，y=^h（x），由于f（x）有最大值3，所以 h（x）应有最小值-1，进而可得a的值．
（3）由指数函数的性质知，要使y=^h（x）的值域为（0，+∞）．应使h（x）=ax²-4x+3的值域为R，进而可得a的取值范围．

解答： 解：（1）当a=-1时，f（x）=(

1

3

)-x2-4x+3，
令g（x）=-x²-4x+3，
由于g（x）在（-∞，-2）上单调递增，在（-2，+∞）上单调递减，
而y=^t在R上单调递减，
所以f（x）在（-∞，-2）上单调递减，在（-2，+∞）上 单调递增，
即函数f（ x）的递增区间是（-2，+∞），递减区间是（-∞，-2 ）．
（2）令h（x）=ax²-4x+3，y=^h（x），由于f（x）有最大值3，
所以 h（x）应有最小值-1，
因此

12a-16

4a

=-1，
解得a=1．
即当f（x）有最大值3时，a的值等于1．
（3）由指数函数的性质知，
要使y=h（x）的值域为（0，+∞）．
应使h（x）=ax²-4x+3的值域为R，
因此只能有a=0．
因为若a≠0，则h（x）为二次函数，其值域不可能为R．
故 a的取值范围是a=0．

点评：本题考查的知识点是指数函数的单调性，二次函数的单调性和复合函数的单调性，是函数图象和性质的综合应用，难度中档．