【题目】已知, .
(1)求 的值;
(2)试猜想的表达式(用一个组合数表示),并证明你的猜想.
【答案】(1)1,3,10;(2)=
【解析】试题分析:(1)代入,根据组合数依次求出 的值;(2)根据数值猜想=,利用倒序相加法可求出的表达式
试题解析:解:(1)由条件, ①,
在①中令,得.
在①中令,得,得.
在①中令,得,得.
(2)猜想=(或=).
欲证猜想成立,只要证等式成立.
方法一:当时,等式显然成立,
当时,因为,
故.
故只需证明.
即证.
而,故即证 ②.
由等式可得,左边的系数为.
而右边 ,
所以的系数为.
由恒成立可得②成立.
综上, 成立.
方法二:构造一个组合模型,一个袋中装有个小球,其中n个是编号为1,2,…,n的白球,其余n-1个是编号为1,2,…,n-1的黑球,现从袋中任意摸出n个小球,一方面,由分步计数原理其中含有个黑球(个白球)的n个小球的组合的个数为, ,由分类计数原理有从袋中任意摸出n个小球的组合的总数为.
另一方面,从袋中个小球中任意摸出n个小球的组合的个数为.
故,即②成立. 余下同方法一.
方法三:由二项式定理,得 ③.
两边求导,得 ④.
③×④,
得 ⑤.
左边的系数为.
右边的系数为
.
由⑤恒成立,可得.
故成立.
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【题目】已知函数f(x)=ex-e-x(x∈R,且e为自然对数的底数).
(1)判断函数f(x)的单调性与奇偶性;
(2)是否存在实数t,使不等式f(x-t)+f(x2-t2)≥0对一切x∈R都成立?若存在,求出t;若不存在,请说明理由.
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【题目】如图,已知曲线,曲线的左右焦点是, ,且就是的焦点,点是与的在第一象限内的公共点且,过的直线分别与曲线、交于点和.
(Ⅰ)求点的坐标及的方程;
(Ⅱ)若与面积分别是、,求的取值范围.
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【题目】已知一家公司生产某种品牌服装的年固定成本为10万元,每生产1千件需另投入2.7万元.设该公司一年内共生产该品牌服装x千件并全部销售完,每千件的销售收入为万元,且.
(1)写出年利润W(万元)关于年产量x(千件)的函数解析式;
(2)年产量为多少千件时,该公司在这一品牌服装的生产中所获得利润最大?(注:年利润=年销售收入﹣年总成本)
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【题目】2017年4月1日,新华通讯社发布:国务院决定设立河北雄安新区.消息一出,河北省雄县、容城、安新3县及周边部分区域迅速成为海内外高度关注的焦点.
(1)为了响应国家号召,北京市某高校立即在所属的8个学院的教职员工中作了“是否愿意将学校整体搬迁至雄安新区”的问卷调查,8个学院的调查人数及统计数据如下:
调查人数() | 10 | 20 | 30 | 40 | 50 | 60 | 70 | 80 |
愿意整体搬迁人数() | 8 | 17 | 25 | 31 | 39 | 47 | 55 | 66 |
请根据上表提供的数据,用最小二乘法求出变量关于变量的线性回归方程保留小数点后两位有效数字);若该校共有教职员工2500人,请预测该校愿意将学校整体搬迁至雄安新区的人数;
(2)若该校的8位院长中有5位院长愿意将学校整体搬迁至雄安新区,现该校拟在这8位院长中随机选取4位院长组成考察团赴雄安新区进行实地考察,记为考察团中愿意将学校整体搬迁至雄安新区的院长人数,求的分布列及数学期望.
参考公式及数据: .
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【题目】在平面直角坐标系中,以原点为极点, 轴正半轴为极轴,取相同的单位长度建立极坐标系,已知曲线,直线.
(1)将曲线上所有点的横坐标、纵坐标分别伸长为原来的2倍、倍后得到曲线,请写出直线,和曲线的直角坐标方程;
(2)若直线经过点且, 与曲线交于点,求的值.
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【题目】袋中有大小相同的3个红球和2个白球,现从袋中每次取出一个球,若取出的是红球,则放回袋中,继续取一个球,若取出的是白球,则不放回,再从袋中取一球,直到取出两个白球或者取球5次,则停止取球,设取球次数为,
(1)求取球3次则停止取球的概率;
(2)求随机变量的分布列.
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【题目】用C(A)表示非空集合A中的元素个数,定义A*B=若A={1,2},B={x|(x2+ax)·(x2+ax+2)=0},且A*B=1,设实数a的所有可能取值组成的集合是S,则C(S)等于( )
A. 1 B. 3
C. 5 D. 7
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