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已知关于x的方程4x2-2(m+1)x+m=0的两个根恰好是一个直角三角形的两个锐角的余弦,求实数m的值.
设直角三角形的两个锐角分别为αβ,则可得α+β=
∴cosα=sinβ
∵方程4x2-2(m+1)x+m=0中,Δ=4(m+1)2-4·4m=4(m-1)2≥0
∴当m∈R,方程恒有两实根.
又∵cosα+cosβ=sinβ+cosβ=,cosα·cosβ=sinβcosβ=
∴由以上两式及sin2β+cos2β=1,得1+2·=()2
解得m
m=时,cosα+cosβ=>0,cosα·cosβ=>0,满足题意,
m=-时,cosα+cosβ=<0,这与αβ是锐角矛盾,应舍去.
综上,m=
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