Question

16．棱长相等的三棱锥A-BCD的俯视图是边长为2的正方形，如图所示，若该几何体的另一个棱长都相等的三棱锥A′-B′C′D′纸盒内可以任意转动，则三棱锥A′-B′C′D′的棱长的最小值为（　　）

• A． 3$\sqrt{6}$
• B． 8
• C． 6$\sqrt{3}$
• D． 6$\sqrt{2}$

Answer 1

分析 根据题意，求出正视图的三边的长，确定正四面体A-BCD的外接球的半径，该球作为三棱锥A′-B′C′D′的内切球，求出内切球的半径，可得结论．

解答 解：这个正四面体的位置是AC放在桌面上，BD平行桌面，它的正视图是和几何体如图，则正视图BD=2$\sqrt{2}$．
构造正四面体A-BCD的外接球，其半径R=2$\sqrt{2}$•$\frac{\sqrt{6}}{4}$=$\sqrt{3}$，
该球作为三棱锥A′-B′C′D′的内切球，半径为r=R=$\sqrt{3}$=$\frac{\sqrt{6}}{12}$a′，
∴a′=6$\sqrt{2}$，
故选：D．

点评 本题是中档题，考查正四面体的内接球的知识，考查空间想象能力，转化思想，计算能力．