Question

如图，已知多面体ABCD﹣A₁B₁C₁D₁，它是由一个长方体ABCD﹣A'B'C'D'切割而成，这个长方体的高为b，底面是边长为a的正方形，其中顶点A₁，B₁，C₁，D₁均为原长方体上底面A'B'C'D'各边的中点．
（1）若多面体面对角线AC，BD交于点O，E为线段AA₁的中点，求证：OE∥平面A₁C₁C；
（2）若a=4，b=2，求该多面体的体积；
（3）当a，b满足什么条件时AD₁⊥DB₁，并证明你的结论．

Answer 1

证明：（1）连接AC，BD交于O点，
∵E为AA₁的中点，O为AC的中点，
∴在△AA₁C中，OE为△AA₁C的中位线，
∴OE∥A₁C，
∵OE平面A₁C₁C，A₁C平面A₁C₁C，
∴OE∥平面A₁C₁C；
（2）多面体表面共包括10个面，补全长方体ABCD﹣A'B'C'D'，
则知多面体ABCD﹣A₁B₁C₁D₁体积为：
=V_{ABCD﹣A'B'C'D'}﹣4=4×4×2﹣4×××2×2×2=，
（3）易知CD⊥平面ADD₁，D₁B₁∥DC，D₁B₁，OC确定平面CDD₁B₁，
∵AD₁平面ADD₁，
∴CD⊥AD₁，
若AD₁⊥DB₁，
∵DB₁∩CD=D，
∴AD₁⊥平面CDD₁B₁，
∵DD₁平面CDD₁B₁，
∴AD₁⊥DD₁，取AD中点M，则D₁M∥A'A，且D₁M=A'A，
∴在RtADD₁中，2D₁M=AD，即a=2b
即：当a=2b时，AD₁⊥DB₁．