Question

已知函数f（x）=

x2-2x    (x≤1) lg(x-1)   (x＞1)

（1）求f（f（2））的值；
（2）当x∈[-2，-1]时，不等式f（x）≥2x+m恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）根据分段函数的分段依据，先求出f（2），再根据f（2）的值，求解即可得到答案；
（2）利用参变量分离，得到m≤x²-4x，在[-2，-1]上恒成立，转化成求函数y=x²-4x在[-2，-1]上的最小值，求解即可得到实数m的取值范围．

解答：解：（1）∵f（x）=

x2-2x    (x≤1) lg(x-1)   (x＞1)

，2＞1
∴f（2）=lg（2-1）=0，
∴f（f（2））=f（0）=0；
（2）∵x∈[-2，-1]，
∴f（x）=x²-2x，即当x∈[-2，-1]时，不等式x²-2x≥2x+m恒成立，
即m≤x²-4x，在[-2，-1]上恒成立，
而y=x²-4x=（x-2）²-4在[-2，-1]上的最小值为5，
∴m≤5，
∴实数m的取值范围为m≤5．

点评：本题考查了函数求值以及函数的恒成立问题．对于函数的恒成立问题，一般选用参变量分离法、最值法、数形结合法进行求解．本题选用了参变量分离的方法转化成二次函数求最值问题．属于基础题．