Question

已知等腰梯形PDCB中（如图1），PB=3，DC=1，PD=BC=

2

，A为PB边上一点，且PA=1，将△PAD沿AD折起，使面PAD⊥面ABCD（如图2）．
（1）证明：平面PAD⊥平面PCD；
（2）试在棱PB上确定一点M，使截面AMC把几何体分成的两部分V_PDCMA：V_MABC=2：1．
（3）在M满足（Ⅱ）的情况下，判断直线AM是否平行面PCD．

Answer 1

分析：（I）依题意知：CD⊥AD，即可根据面面垂直的性质定理可得：所以DC⊥平面PAD，再根据面面垂直的判定定理可得：平面PAD⊥平面PCD．
（II）根据（I）同理可得：PA⊥平面ABCD，可得平面PAB⊥平面ABCD．在AB上取一点N，MN⊥平面ABCD，设MN=h，再分别计算出V_PDCMA与V_MABC的数值，并且结合题意可得h=

1

2

，所以M为PB的中点．
（III）根据题意作AQ⊥PD，所以

AQ

是平面PCD的法向量．分别计算出

AQ

=(

1

2

，0，

1

2

)，

AM

=(0，1，

1

2

)，因为

AQ

•

AM

=(

1

2

，0，

1

2

)(0，1，

1

2

)，所以

AQ

不垂直

AM

．

解答：证明：（I）依题意知：CD⊥AD，并且CD?平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，面PAD⊥面ABCD，
所以DC⊥平面PAD，
又因为DC?平面PCD，
所以平面PAD⊥平面PCD．
（II）根据（I）同理可得：PA⊥平面ABCD，因为PA?平面PAB，
∴平面PAB⊥平面ABCD．
在AB上取一点N，使得MN⊥AB，则MN⊥平面ABCD，
设MN=h
则VM-ABC=

1

3

S△ABCh=

1

3

×

1

2

×2×1×h=

h

3

，
VPDCMA=

1

3

sABCD•PA- 

1

3

S△ABCh=

1

2

-

h

3

，
所以要使V_PDCMA：V_MABC=2：1，即

1 2 - h 3

h 3

 =2，
解得h=

1

2

，
所以M为PB的中点．
（III）以A为原点，AD、AB、AP所在直线为x，y，z轴，
建立如图所示的空间直角坐标系

则A（0，0，0），B（0，2，0），C（1，1，0），D（1，0，0），
P（0，0，1），M（0，1，

1

2

）
由（I）知平面PAD⊥平面PCD，作AQ⊥PD，
则AQ⊥平面PCD，则

AQ

是平面PCD的法向量．
又因为△PAD为等腰直角三角形，所以Q为PD的中点，即Q（

1

2

，0，

1

2

），
所以

AQ

=(

1

2

，0，

1

2

)， 

AM

=(0，1，

1

2

)，
因为

AQ

•

AM

=(

1

2

，0，

1

2

)(0，1，

1

2

)，
所以

AQ

不垂直

AM

，
所以AM与平面PCD不平行．

点评：解决此类问题的关键是熟练掌握几何体的结构特征，进而利用有关定理得到线面关系，以及建立适当的坐标系利用向量的有关运算解决线面问题．