Question

如图三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面ABC⊥侧面AA₁C₁C，△AA₁C为等边三角形，AB⊥BC且AB=BC，三棱锥B-AA₁C的体积为．
（I）求证：AC⊥A₁B；
（II）求直线A₁C与平面BAA₁所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）取AC中点为O，利用线面垂直的判定定理证明AC⊥平面BOA₁，即可证明AC⊥A₁B；
（Ⅱ）建立空间直角坐标系，求出平面A₁AB的法向量，利用向量的夹角公式，即可求直线A₁C与平面A₁AB所成角的正弦值．
解答：（I）证明：取AC中点为O，
∵AB=BC，∴BO⊥AC
∵△AA₁C为等边三角形，∴OA₁⊥AC
∵OA₁∩BO=O
∴AC⊥平面BOA₁，
∴AC⊥A₁B；
（II）解：设AC=a，则有，∴a=3
建立如图所示的空间直角坐标系，则C（0，，0），，
，

设平面A₁AB的法向量为=（x，y，1），则由
可得，∴，∴
∴cos==-
∵直线A₁C与平面A₁AB所成角θ和向量与所成锐角互余，
∴直线A₁C与平面BAA₁所成角的正弦值为．
点评：本小题主要考查空间线面关系、直线与平面所成的角、三角函数等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力．