【题目】(原创,较难)椭圆的左右焦点分别为,与y轴正半轴交于点B,若为等腰直角三角形,且直线被圆所截得的弦长为2.
(1)求椭圆的方程;(2)直线l与椭圆交于点A、C,线段AC的中点为M,射线MO与椭圆交于点P,点O为重心,探求面积是否为定值,若是求出这个值,若不是求的取值范围
【答案】(1) .
(2) 面积为定值.
【解析】
分析:(1)由为等腰直角三角形可得,由直线:被圆所截得的弦长为2,可得,,从而可得椭圆的方程;(2)设直线的方程为,设,,联立,利用韦达定理、结合重心坐标公式求出点坐标,代入椭圆方程可得,利用弦长公式、点到直线距离公式以及三角形面积公式可得的面积为,化简可得结果.
详解:(1)由为等腰直角三角形可得,直线:被圆所截得的弦长为2,所以,,所以椭圆的方程为.
(2)若直线的斜率不存在,则.
若直线的斜率存在,设直线的方程为,设,,
即则,,,
由题意点为重心,设,则,,
所以,,代入椭圆,得
,整理得,
设坐标原点到直线的距离为,则的面积
.
综上可得的面积为定值.
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【题目】关于曲线C:,给出下列五个命题:
①曲线C关于直线y=x对称;
②曲线C关于点对称;
③曲线C上的点到原点距离的最小值为;
④当时,曲线C上所有点处的切线斜率为负数;
⑤曲线C与两坐标轴所围成图形的面积是.
上述命题中,为真命题的是_____.(将所有真命题的编号填在横线上)
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【题目】已知函数的导函数为,且对任意的实数都有(是自然对数的底数),且,若关于的不等式的解集中恰有两个整数,则实数的取值范围是
A. B. C. D.
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【题目】为了了解四川省各景点在大众中的熟知度,随机对岁的人群抽样了人,回答问题“四川省有哪几个著名的旅游景点?”统计结果如表.
组号 | 分组 | 回答正确的人数 | 回答正确的人数 占本组的频率 |
第组 |
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第组 |
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第组 |
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第组 |
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第组 |
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(1)分别求出的值;
(2)从第,,组回答正确的人中用分层抽样的方法抽取人,求第,,组每组各抽取多少人?
(3)通过直方图求出年龄的众数,平均数.
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【题目】在直角坐标系中,圆的参数方程为 (为参数),圆与圆外切于原点,且两圆圆心的距离,以坐标原点为极点, 轴正半轴为极轴建立极坐标系.
(1)求圆和圆的极坐标方程;
(2)过点的直线与圆异于点的交点分别为点,与圆异于点的交点分别为点,且,求四边形面积的最大值.
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【题目】如图,曲边三角形中,线段是直线的一部分,曲线段是抛物线的一部分.矩形的顶点分别在线段,曲线段和轴上.设点,记矩形的面积为.
(Ⅰ)求函数的解析式并指明定义域;
(Ⅱ)求函数的最大值.
【答案】(Ⅰ) 定义域为;(Ⅱ) 在时,取得最大值.
【解析】试题分析:( I )根据点在直线上,在抛物线上,结合图形,可得点,从而可得函数的解析式,联立直线与抛物线的方程,即可求得定义域;(II)对函数求导,利用导数研究函数的单调性,从而可求得函数的最大值.
试题解析:( I )令,
解得 (舍)
因为点
所以 ,
其定义域为
(II)因为
令,得,(舍)
所以的变化情况如下表
0 | |||
极大 |
因为是函数在上的唯一的一个极大值,
所以在时,函数取得最大值.
点睛:利用导数解答函数最值的一般步骤:第一步:利用或求单调区间;第二步:解得两个根;第三步:比较两根同区间端点的大小;第四步:求极值;第五步:比较极值同端点值的大小.
【题型】解答题
【结束】
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【题目】在各项均为正数的数列中, 且.
(Ⅰ)当时,求的值;
(Ⅱ)求证:当时,.
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