Question

20．把正整数按一定的规律排成了如图所示的三角形数，设a_ij（i，j∈N⁺）是位于这个三角形数中从上往下数第i行，从左往右数第j列的数，如a₃₂=5，若a_ij=2015，则i+j=（　　）

• A． 111
• B． 110
• C． 108
• D． 105

Answer 1

分析 通过观察给出的三角形数表，找到如下规律，奇数行都是奇数，偶数行都是偶数，且每一行的数的个数就是行数，然后根据2015是第1008个奇数，利用等差数列的前n项和公式分析出它所在的行数，再利用等差数列的通项公式求其所在的列数，则i与j的和可求

解答 解：由三角形数表可以看出其奇数行中的数都是奇数，偶数行中的数都是偶数，
2015=2×1008-1，所以2015是第1008个奇数，
又每一行中奇数的个数就是行数，又前31个奇数行内奇数的个数的和为31×1+$\frac{31×（31-1）×2}{2}$=961，
即第31个奇数行的最后一个奇数是961×2-1=1921，
前32个奇数行内奇数的个数的和为32×1+$\frac{32×（32-1）×2}{2}$=1024，
故2015在第32个奇数行内，
所以i=63，
因为第63行的第一个数为1923，则2015=1923+2（m-1），所以m=47，
即j=47，所以i+j=63+47=110．
故选：B

点评 归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）．