【题目】在如图所示的多面体中, 平面, .
(1)在上求作点,使平面,请写出作法并说明理由;
(2)求三棱锥的高.
【答案】(1)详见解析(2).
【解析】试题分析:(1)由题意,因此只需,就可推出平面,而延长线与交点恰为的中点因此作法为先取的中点,再连结,交于.证法为先由线线平行证得线面平行,再由线面平行证得面面平行,最后由面面平行证得线面平行.(2)求三棱锥的高,可由等体积法求得:因为,而平面,所以,这样只需求出两个三角形面积,代入化简即得三棱锥的高.
试题分析:解:(1)取的中点,连结,交于,连结.此时为所求作的点.
下面给出证明:
∵,∴,又,∴四边形是平行四边形,
故即.
又平面平面,∴平面;
∵平面, 平面,∴平面.
又∵平面平面,
∴平面平面,
又∵平面,∴平面.
(2)在等腰梯形中,∵,
∴可求得梯形的高为,从而的面积为.
∵平面,∴是三棱锥的高.
设三棱锥的高为.
由,可得,
即,解得,
故三棱锥的高为.
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【题目】在如图所示的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,E1,F1分别是棱AB,AD,B1C1,C1D1的中点,
求证:(1) ;
(2)∠EA1F=∠E1CF1.
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【题目】从某校高三上学期期末数学考试成绩中,随机抽取了名学生的成绩得到如图所示的频率分布直方图:
(1)根据频率分布直方图,估计该校高三学生本次数学考试的平均分;
(2)若用分层抽样的方法从分数在和的学生中共抽取人,该人中成绩在的有几人?
(3)在(2)中抽取的人中,随机抽取人,求分数在和各人的概率.
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【题目】某中学高二年级开设五门大学先修课程,其中属于数学学科的有两门,分别是线性代数和微积分,其余三门分别为大学物理,商务英语以及文学写作,年级要求每名学生只能选修其中一科,该校高二年级600名学生各科选课人数统计如下表:
其中选修数学学科的人数所占频率为0.6,为了了解学生成绩与选课情况之间的关系,用分层抽样的方法从这600名学生中抽取10人进行分析.
(1)求和的取值以及抽取的10人中选修商务英语的学生人数;
(2)选出的10名学生中恰好包含甲乙两名同学,其中甲同学选修的是线性代数,乙同学选修的是大学物理,现从线性代数和大学物理两个学科中随机抽取3人,求这3人中正好有甲乙两名同学的概率.
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【题目】在棱长均相等的正四棱锥中, 为底面正方形的重心, 分别为侧棱的中点,有下列结论:
①平面;②平面平面;③;
④直线与直线所成角的大小为.
其中正确结论的序号是__________.(写出所有正确结论的序号)
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【题目】选修4-4:坐标系与参数方程
已知曲线C的极坐标方程为ρ﹣4cosθ+3ρsin2θ=0,以极点为原点,极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系,直线l过点M(1,0),倾斜角为.
(Ⅰ)求曲线C的直角坐标方程与直线l的参数方程;
(Ⅱ)若曲线C经过伸缩变换后得到曲线C′,且直线l与曲线C′交于A,B两点,求|MA|+|MB|.
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【题目】如图,已知平面平面,四边形是正方形,四边形是菱形,且,,点、分别为边、的中点,点是线段上的动点.
(1)求证:;
(2)求三棱锥的体积的最大值.
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