Question

【题目】设椭圆E： +y2=1（a＞1）的右焦点为F，右顶点为A，已知 ，其中O为原点，e为椭圆的离心率．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）动直线l过点N（﹣2，0），l与椭圆E交于P，Q两点，求△OPQ面积的最大值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由椭圆E： +y2=1（a＞1）的右焦点为F，b=1，由椭圆的几何性质可知：丨FA丨=a﹣c，丨OF丨=c，丨OA丨=a，
由 ，整理得（a﹣c）（ ）= ，整理得：a2=2c2 ，
由a2﹣c2=b2=1，解得：c=1，则a= ，
∴a的值 ；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知：椭圆的标准方程为： ，
由题l与x轴不重合，设l的方程是x=my﹣2，
由 ，整理得（my﹣2）2+2y2﹣2=0，
即（m2+2）y2﹣4my+2=0，
∵直线与椭圆有相异交点，
△=16m2﹣8（m2+2）＞0，解得m＞ 或m＜﹣ ，
由韦达定理可知：y1+y2= ，y1y2= ，
由△OPQ面积S= 丨ON丨丨y1﹣y2丨= 丨ON丨 = ，
令t= ＞0，
则S= = ≤ = ．
当且仅当t=2，即m=± 时，△OPQ面积的最大，最大值是 ．

【解析】（Ⅰ）由椭圆的性质可知：丨FA丨=a﹣c，丨OF丨=c，丨OA丨=a，代入 ，求得a2=2c2 ， 由a2﹣c2=b2=1，即可求得a= ；（Ⅱ）由题意可知：设l的方程是x=my﹣2，代入椭圆方程，由△＞0求得m的取值范围，根据韦达定理及三角形的面积公式S= 丨ON丨 = ，令t= ＞0，则S= = ≤ = ，即可求得m的最大值．