Question

设数列{x_n}各项均为正数，且满足

x

2 1

+

x

2 2

+…+

x

2 n

=2n2+2n
（1）求通项x_n
（2）已知

1

x1+x2

+

1

x2+x 3

+

1

x3+x4

+…+

1

xn+xn+1

=3，求n的值．

Answer 1

分析：（1）根据等式满足

x

2 1

+

x

2 2

+…+

x

2 n

=2n2+2n，将n换为n-1后两式相减，即可求解；
（2）由（1）求得通项x_n，代入

1

xn+xn+1

根据分子有理化，对其进行化简，再进行证明；

解答：解：（1）数列{x_n}各项均为正数，且满足

x

2 1

+

x

2 2

+…+

x

2 n

=2n2+2n①
∴

x

2 1

+

x

2 2

+…+

x

2 n-1

=2(n-1)2+2(n-1)②
①-②得，x_n²=2n²+2n-[2（n-1）²+2（n-1）]=4n，∵数列{x_n}各项均为正数，
∴x_n=2

n

；
（2）∵x_n=2

n

；
∴

1

xn+xn+1

=

1

2 n +2 n+1

=

1

2

（

n+1

-

n

），

1

x1+x2

+

1

x2+x 3

+

1

x3+x4

+…+

1

xn+xn+1

=

1

2

（

2

-1+

3

-

2

+••+

n+1

-

n

）=

1

2

×（

n+1

-1）=3，
解得n=48；

点评：此题主要考查数列的求和问题，注意利用好分子有理化进行化简，此题是一道中档题，考查的知识点比教单一；