Question

8．已知实数p＞0，直线4x+3y-2p=0与抛物线y²=2px和圆（x-$\frac{p}{2}$）²+y²=$\frac{{p}^{2}}{4}$从上到下的交点依次为A，B，C，D，则$\frac{|AC|}{|BD|}$的值为$\frac{3}{8}$．

Answer 1

分析 设A（x₁，y₁），D（x₂，y₂），抛物线的焦点为F，由题得|BF|=|CF|=$\frac{p}{2}$．由抛物线的定义得：|AC|=|AF|+|CF|=$\frac{p}{2}$+x₁+$\frac{p}{2}$=x₁+p，同理得|BD|=x₂+p．联立直线4x+3y-2p=0与抛物线y²=2px且消去x解出y₁=$\frac{p}{2}$，y₂=-2p，所以x₁=$\frac{p}{8}$，x₂=2p，进而得到答案．

解答 解：设A（x₁，y₁），D（x₂，y₂），抛物线的焦点为F，
由题意得|BF|=|CF|=$\frac{p}{2}$，
由抛物线的定义得：|AC|=|AF|+|CF|=$\frac{p}{2}$+x₁+$\frac{p}{2}$=x₁+p，同理得|BD|=x₂+p．
联立直线4x+3y-2p=0与抛物线y²=2px且消去x得：2y²+3py-2p²=0
解得：y₁=$\frac{p}{2}$，y₂=-2p，所以x₁=$\frac{p}{8}$，x₂=2p
所以$\frac{|AC|}{|BD|}$=$\frac{\frac{9}{8}p}{3p}$=$\frac{3}{8}$．
故答案为$\frac{3}{8}$．

点评 解决此类题目的关键是对抛物线的定义要熟悉，即抛物线上的点到定点的距离与到定直线的距离相等．