Question

【题目】已知y=f（x）是R上的可导函数，对于任意的正实数t，都有函数g（x）=f（x+t）﹣f（x）在其定义域内为减函数，则函数y=f（x）的图象可能为如图中（ ）
A.
B.
C.
D.

Answer 1

【答案】A
【解析】解：∵函数g（x）=f（x+t）﹣f（x）在其定义域内为减函数， ∴g'（x）=f'（x+t）﹣f'（x）＜0在其定义域内恒成立
即f'（x+t）＜f'（x），结合t＞0，得函数y=f'（x）是其定义域上的减函数．
对于A，可设函数f（x）=ax2+bx+c，（a＜0）
∴f'（x）=2ax+b，满足在其定义域上为减函数；
对于B，可设f（x）=ax ， （0＜a＜1）
∴f'（x）=axlna，在（0，+∞）上是增函数，不符合题意；
对于C，可设f（x）=x3 ， 可得f'（x）=3x2在其定义域上不是减函数，故C不正确；
对于D，可设f（x）=ax ， （a＞1）
∴f'（x）=axlna，在（0，+∞）上是增函数，不符合题意．
故选A