Question

如图所示，在直三棱柱A₁B₁C₁－ABC中，AB⊥AC，AB＝AC＝2，A₁A＝4，点D是BC的中点．

(1)求异面直线A₁B与C₁D所成角的余弦值；
(2)求平面ADC₁与平面ABA₁所成二面角的正弦值．

Answer 1

（1）（2）

(1)以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系A－xyz，

则A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(0，2，0)，D(1，1，0)，A₁(0，0，4)，C₁(0，2，4)，所以＝(2，0，－4)，＝(1，－1，－4)．
因为cos〈，〉＝＝，所以异面直线A₁B与C₁D所成角的余弦值为.
(2)设平面ADC₁的法向量为n₁＝(x，y，z)，
因为＝(1，1，0)，＝(0，2，4)，所以n₁·＝0，n₁·＝0，即x＋y＝0且y＋2z＝0，
取z＝1，得x＝2，y＝－2，所以，n₁＝(2，－2，1)是平面ADC₁的一个法向量．
取平面AA₁B的一个法向量为n₂＝(0，1，0)，
设平面ADC₁与平面ABA₁所成二面角的大小为θ.
由|cosθ|＝＝，得sinθ＝.
因此，平面ADC₁与平面ABA₁所成二面角的正弦值为.