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19.如图所示,正方体ABCD-A1B1C1D1中,P、Q分别是AD1、BD上的点,且AP=BQ,求证:PQ∥平面DCC1D1

分析 过P作PM∥AD交D1D于M,过Q作QN∥BC交CD于N.则四边形PMNQ是平行四边形,即PQ∥MN.

解答 证明:过P作PM∥AD交D1D于M,过Q作QN∥BC交CD于N,连接MN.

∵AD∥BC,
∴PM∥QN,
∵AD1=BD,AP=BQ
∴D1P=DQ,
∴$\frac{PM}{AD}$=$\frac{{D}_{1}P}{A{D}_{1}}$=$\frac{DQ}{BD}$=$\frac{QN}{BC}$,
∵AD=BC,
∴PM=QN.
∴四边形PMNQ是平行四边形,
∴PQ∥MN,?平面DCC1D1
∵PQ?平面DCC1D1
MN?平面DCC1D1
∴PQ∥平面DCC1D1

点评 本题考查了空间线面平行的判定,构造平行线是解题的关键.

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