Question

求证：关于x的方程x²＋mx＋1＝0有两个负实根的充分条件和必要条件均是m≥2．

Answer 1

答案：
解析：

证明：(1)充分性：因为m≥2，所以△＝m2－4≥0．所以x2＋mx＋1＝0有实根，两根设为x1、x2，由韦达定理，知x1x2＝1＞0，所以x1与x2同号．又x1＋x2＝－m≤－2＜0，所以x1、x2同为负实数，即x2＋mx＋1＝0有两个负实根的充分条件是m≥2． 　　(2)必要性：因为x2＋mx＋1＝0有两个负实根x1和x2，且x1x2＝1，所以m－2＝－(x1＋x2)－2＝－(x1＋)－2＝≥0．故m≥2，即x2＋mx＋1＝0有两负实根的必要条件是m≥2．综上，m≥2是x2＋mx＋1＝0有两个负实根的充要条件． 　　解析：本题的条件是p：m≥2，结论是q：方程x2＋mx＋1＝0有两个负实根，然后要明确充分性的证明是pq，必要性的证明是qp．

提示：

本题关键是分清命题的条件p，结论q分别表示什么，且分清“充分条件”和“必要条件”的不同．