Question

已知函数f（x）=sinx，g(x)=px-

x3

6

（I）若y=f（x）与y=g（x）在（0，0）处有相同的切线，求p的值
（II）在（I）的条件下，求证：当x∈（0，1）时，f（x）＞g（x）恒成立
（III）若x∈（0，1）时f（x）＞g（x）恒成立，求p的取值范围．

Answer 1

分析：（I）由f′（x）=cosx，f′（0）=1，g′(x)=p-

x2

2

，g′（0）=p，知p=1．
（II）设F（x）=f（x）-g（x），当p=1时，F（x）=sinx-x+

x3

6

，F′(x)=cosx-1+

x2

2

，F''（x）=-sinx+x，当x∈（0，1）时，F′（x）＞F′（0）=0，由此能够证明（x）＞g（x）恒成立．
（III）当x∈（0，1）时，由F''（x）=-sinx+x＞0，知F（x）在（0，1）上单调增，从而F（x）在（0，1）内不可能出现先增后减的情况，由此能够求出p的范围．

解答：解：（I）∵f′（x）=cosx，f′（0）=1，
g′(x)=p-

x2

2

，g′（0）=p，
y=f（x）与y=g（x）在（0，0）处有相同的切线，
∴p=1…（3分）
（II）设F（x）=f（x）-g（x），
当p=1时，F（x）=sinx-x+

x3

6

，
F′(x)=cosx-1+

x2

2

，
F''（x）=-sinx+x，
当x∈（0，1）时，sinx＜x，故F''（x）＞0，
从而F′（x）在（0，1）上单调增，
所以，F′（x）＞F′（0）=0，
∴F（x）在（0，1）上单调增，
∴F（x）＞f（0）=0，即f（x）＞g（x）恒成立．
（III）当x∈（0，1）时，
∵F''（x）=-sinx+x＞0，
∴F（x）在（0，1）上单调增，从而F（x）在（0，1）内不可能出现先增后减的情况，
∵F（0）=0，
∴要使F（x）＞0在（0，1）上恒成立，
必有F（x）在（0，1）上单调递增，
即F′（x）≥0在x∈（0，1）上恒成立，
∵F′（x）∈(1-p，cos1+

1

2

-p)，
∴1-p≥0，
即p≤1．

点评：本题考查函数的恒成立问题，解题时要认真审题，仔细解答，注意导数的合理运用．