Question

13．在直角梯形ABCD中，∠ADC=90°，BC=CD=1，AD=2，P是线段CD上一动点，则$|\overrightarrow{PA}+3\overrightarrow{PB}|$的取值范围是[5，$\sqrt{34}$]．

Answer 1

分析 根据题意，利用解析法求解，以直线DA，DC分别为x，y轴建立平面直角坐标系，则A（2，0），B（1，1），C（0，1），D（0，0），设P（0，b）（0≤b≤1），求出$\overrightarrow{PA}$，$\overrightarrow{PB}$，根据向量模的计算公式，即可求得，利用完全平方式非负，即可求得其最值．

解答 解：如图，以直线DA，DC分别为x，y轴建立平面直角坐标系，
则A（2，0），B（1，1），C（0，1），D（0，0）
设P（0，b）（0≤b≤1）
则$\overrightarrow{PA}$=（2，-b），$\overrightarrow{PB}$=（1，1-b），
∴$\overrightarrow{PA}+3\overrightarrow{PB}$=（5，3-4b）
∴则$|\overrightarrow{PA}+3\overrightarrow{PB}|$=$\sqrt{25+（3-4b）^{2}}$≥5，$|\overrightarrow{PA}+3\overrightarrow{PB}|$=$\sqrt{25+（3-4b）^{2}}$≤$\sqrt{34}$，
故答案为：$[5，\sqrt{34}]$．

点评 此题是个基础题．考查向量在几何中的应用，以及向量模的求法，同时考查学生灵活应用知识分析解决问题的能力