Question

【题目】如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，CAB=90°，AB=AC=2，AA1= ，M为BC的中点，P为侧棱BB1上的动点．
（1）求证：平面APM⊥平面BB1C1C；
（2）试判断直线BC1与AP是否能够垂直．若能垂直，求PB的长；若不能垂直，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，CAB=90°，

AB=AC=2，AA1= ，M为BC的中点，P为侧棱BB1上的动点．

∴AM⊥BC，AM⊥BB1，

∵BC∩BB1=B，∴AM⊥平面BB1C1C，

∵AM平面APM，

∴平面APM⊥平面BB1C1C

（2）解：以A为原点，AC为x轴，AB为y轴，AA1为z轴，建立空间直角坐标系，

B（0，2，0），C1（2，0， ），A（0，0，0），设BP=t，（0 ），

则P（0，2，t），

=（2，﹣2， ）， =（0，2，t），

若直线BC1与AP能垂直，则 ，

解得t= ，

∵t= ＞BB1= ，

∴直线BC1与AP不能垂直．

【解析】（1）推导出AM⊥BC，AM⊥BB1，由此能证明平面APM⊥平面BB1C1C．（2）以A为原点，AC为x轴，AB为y轴，AA1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法推导出直线BC1与AP不能垂直．