Question

若关于x的不等式（m-3）x²-2mx-8＞0（m∈R）的解集是一个开区间D，定义开区间（a，b）的长度l=b-a．
（1）求开区间D的长度l（l用m表示），并写出其定义域
（2）若l∈[1，2]，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）设（m-3）x²-2mx-8=0的两根为x₁，x₂，根据题意得△=4（m²+8m-24）＞0，利用职权根与系数的关系写出两根的和，积，最后利用l的长度公式即可求得开区间D的长度l，结合方程有根条件即可求得其定义域；
（2）结合（1）m的范围及条件：“l∈[1，2]，”解关系m的不等关系式，即可得出m的取值范围．

解答：解：（1）根据题意得m-3＜0，设（m-3）x²-2mx-8=0的两根为x₁，x₂，
则△=4（m²+8m-24）＞0，x1+x2=

2m

m-3

，x1x2=-

8

m-3

l=|x1-x2|=

(x1+x2)2-4x1x

=

( 2m m-3 )2-4(- 8 m-3 )

=

2 m2+8m-24

|m-3|

由

m-3＜0 △=4(m2+8m-24)＞0

⇒m＜-4-2

10

或3＞m＞-4+2

10

，
∴函数定义域为(-∞，-4-2

10

)∪(-4+2

10

，3)
（2）1≤l=

2 m2+8m-24

|m-3|

≤2?(m-3)2≤4(m2+8m-24)≤4(m-3)2?

3m2+38m-105≥0 14m≤33

?

m≤-15或m≥ 7 3 m≤ 33 14

结合（1）m的范围，m的取值范围为(-∞，-15]∪[

7

3

，

33

14

]

点评：本小题主要考查一元二次不等式的解法、根式不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力与转化思想．属于基础题．