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已知椭圆数学公式的两个焦点分别为F1(-1,0),F2(1,0),点P在椭圆上,且满足|PF1|=2|PF2|,∠PF1F2=30°,直线y=kx+m与圆数学公式相切,与椭圆相交于A,B两点.
(I)求椭圆的方程;
(II)证明∠AOB为定值(O为坐标原点).

解:(I)由题意,|PF1|=2|PF2|,∠PF1F2=30°,|F1F2|=2,
解三角形得,由椭圆定义得
从而,又c=1,则,所以椭圆的方程为(6分)
(II)设交点A(x1,y1),B(x2,y2),
联立消去得(2+3k2)x2+6kmx+3m2-6=0
由韦达定理得(9分)
又直线y=kx+m与圆相切,
则有(11分)
从而x1x2+y1y2=x1x2+(kx1+m)(kx2+m)=(k2+1)x1x2+km(x1+x2)+m2=(12分)•
所以,即∠AOB=90°为定值.(13分)
分析:(I)由题意,|PF1|=2|PF2|,∠PF1F2=30°,|F1F2|=2,解三角形得,由此能够导出椭圆的方程.
(II)设交点A(x1,y1),B(x2,y2),联立,消去得(2+3k2)x2+6kmx+3m2-6=0,由韦达定理得,又直线y=kx+m与圆相切,则有,由此能够求出∠AOB=90°为定值.
点评:本题考查直线与圆锥曲线的位置关系的综合运用,解题时要认真审题,注意挖掘题设中的隐含条件,合理地进行等价转化.
练习册系列答案
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科目:高中数学 来源: 题型:

已知椭圆的两个焦点分别是F1(0,-2
2
),F2(0,2
2
)
,离心率e=
2
2
3

(1)求椭圆的方程;
(2)一条不与坐标轴平行的直线l与椭圆交于不同的两点M,N,且线段MN中点的横坐标为-
1
2
,求直线l的倾斜角的范围.

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求下列各曲线的标准方程.
(1)已知椭圆的两个焦点分别是(-2,0),(2,0),并且经过点(
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2
,-
3
2
).
(2)已知抛物线焦点在x轴上,焦点到准线的距离为6.

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科目:高中数学 来源:2012年山东省高考模拟预测卷(四)文科数学试卷(解析版) 题型:解答题

给定椭圆  ,称圆心在坐标原点,半径为的圆是椭圆的“伴随圆”. 已知椭圆的两个焦点分别是,椭圆上一动点满足

(Ⅰ)求椭圆及其“伴随圆”的方程;

(Ⅱ)过点P作直线,使得直线与椭圆只有一个交点,且截椭圆的“伴随圆”所得的弦长为.求出的值.

 

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给定椭圆  ,称圆心在坐标原点,半径为的圆是椭圆的“伴随圆”. 已知椭圆的两个焦点分别是,椭圆上一动点满足

(Ⅰ)求椭圆及其“伴随圆”的方程

(Ⅱ)试探究y轴上是否存在点(0, ),使得过点作直线与椭圆只有一个交点,且截椭圆的“伴随圆”所得的弦长为.若存在,请求出的值;若不存在,请说明理由。

 

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(本小题满分14分)

给定椭圆  ,称圆心在坐标原点,半径为的圆是椭圆的“伴随圆”. 已知椭圆的两个焦点分别是,椭圆上一动点满足

(Ⅰ) 求椭圆及其“伴随圆”的方程;

(Ⅱ) 过点P作直线,使得直线与椭圆只有一个交点,且截椭圆的“伴随圆”所得的弦长为.求出的值.

 

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