Question

12．设f（x）是定义在R上的偶函数，且f（2+x）=f（2-x），当x∈[0，2]时，f（x）=（$\sqrt{2}$）^x-1，若关于x的方程f（x）-log_a（x+2）=0（a＞0且a≠1）在区间（-2，6）内恰有4个不等的实数根，则实数a的取值范围是（　　）

• A． （$\frac{1}{4}$，1）
• B． （1，4）
• C． （1，8）
• D． （8，+∞）

Answer 1

分析 由题意，讨论0＜a＜1时，当0＜a＜1时，-2＜x＜0时，y=f（x）和y=log_a（x+2）只有一个交点；故a＞1．关于x的方程f（x）-log_a（x+2）=0（a＞1），在区间（-2，6）内恰有四个不同实根可化为函数f（x）与函数y=log_a（x+2）有四个不同的交点，作出函数f（x）与函数y=log_a（x+2）的图象，由图象解出答案．

解答 解：由f（x）是定义在R上的偶函数，
且f（2+x）=f（2-x），
即为f（x+4）=f（-x）=f（x），
则f（x）为周期为4的函数．
当x∈[0，2]时，f（x）=（$\sqrt{2}$）^x-1，
可得x∈[-2，0]时，f（x）=f（-x）=（$\sqrt{2}$）^-x-1，
又∵f（x）=log_a（x+2）（a＞0且a≠1），
当0＜a＜1时，-2＜x＜0时，y=f（x）和y=log_a（x+2）只有一个交点；
在0＜x＜6时，f（x）＞0，log_a（x+2）＜0，则没有交点，
故a＞1，作出它们在区间（-2，6）内图象如右图：
当x=6时，f（6）=f（2）=1，log_a（6+2）=1，解得a=8，
由于-2＜x＜6，即有a＞8，
y=f（x）和y=log_a（x+2）有四个交点．
故选：D．

点评 本题考查了方程的根与函数的零点之间的关系，同时考查了数形结合的数学思想应用，属于中档题．