Question

弦AB经过抛物线y²=2px（p＞0）的焦点F，设A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），则下列叙述中，错误的选项是（　　）

• A．当AB与x垂直时，|AB|最小
• B．|AB|=x₁+x₂+p
• C．以弦AB为直径的圆与直线x=-

  p

  2

  相离
• D．y₁y₂=-p²

Answer 1

分析：根据抛物线方程可得焦点坐标，进而可设直线L的方程与抛物线联立根据韦达定理求得x₁+x₂，x₁x₂进而得出y₁y₂根据抛物线定义可求得|AB|的表达式，整理可得|AB|=2p（1+

1

k2

），由于k=tana，进而可知当a=90°时AB|有最小值．

解答：解；焦点F坐标（

p

2

，0），设直线L过F，则直线L方程为y=k（x-

p

2

）
联立y²=2px得k²x²-（pk²+2p）x+

p2k2

4

=0
由韦达定理得x₁+x₂=p+

2p

k2

  x₁x₂=

p2

4

∴y₁²y₂²=4p²x₁x₂=p⁴   y₁y₂=-p² ∴D正确
|AB|=x₁+x₂+

p

2

=x₁+x₂+p=2p+

2p

k2

=2p（1+

1

k2

）∴B正确
因为k=tana，所以1+

1

k2

=1+

1

tan2α

=

1

sin2α

所以|AB|=

2p

sin2α

当a=90°时，即AB垂直于X轴时，AB取得最小值，最小值是|AB|=2p∴A正确
故选C

点评：本题主要考查抛物线的应用．这道题综合了抛物线的性质、抛物线的焦点弦、直线与抛物线的关系等问题．综合性很强．