Question

设f（x）=

1

3

x3+ax2+5x+6在区间[1，3]上为单调减函数，求实数a的取值范围取值范围．

Answer 1

分析：利用导数与函数的单调性的关系进行等价转化，再利用导数求出函数的最小值即可．

解答：解：f′（x）=x²+2ax+5．
由题意函数f（x）在区间[1，3]上为单调减函数，
∴f′（x）=x²+2ax+5≤0在区间[1，3]上恒成立．
∴a≤-

1

2

x-

5

2x

在区间[1，3]上恒成立．
令g（x）=-

1

2

x-

5

2x

，x∈[1，3]，
∴g′(x)=-

1

2

+

5

2x2

=

5-x2

2x2

，
令g′（x）=0，x∈[1，3]，解得x=

5

．
当x∈[1，

5

)时，g′（x）＜0，函数g（x）单调递减；当x∈(

5

，3]时，g′（x）＞0，函数g（x）单调递增．
故函数g（x）在x=

5

取得极小值，也即最小值，g(x)min=g(

5

)=-

5

2

-

5

2 5

=-

5

．
∴a≤-

5

．
∴实数a的取值范围取值范围是(-∞，-

5

]．

点评：熟练掌握利用导数研究函数的单调性、极值与最值、把问题正确等价转化等是解题的关键．