Question

已知函数．
（I）若函数f（x）在定义域上是减函数，求a的取值范围；
（II）若函数f（x）存在极值，且所有极值之和大于，求a的取值范围．

Answer 1

解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域为（0，+∞）．
f′（x）=--2x+a=-，
因为函数f（x）在定义域上是单调减函数，
所以f′（x）≤0在（0，+∞）上恒成立，即f′（x）=-≤0，
所以2x²-ax+1≥0恒成立，
所以2x²+1≥ax，a≤=2x+，
又因为2x+≥2，当且仅当x=时等号成立，
所以a≤2．
（Ⅱ）因为函数f（x）存在极值，所以函数f（x）在（0，+∞）上有零点，
也就是函数g（x）=2x²-ax+1在（0，+∞）上有零点，
因为g（0）=1，所以，解得a＞．
此时g（x）=0有两个正根，不妨设其两根为x₁，x₂，则x₁+x₂=，x₁x₂=，
所以f（x₁）+f（x₂）=+
=ln-+2x₁x₂+a（x₁+x₂）
=ln2-+1+a=．
又因为ln2-+1+a=＞，
所以a²＞16，解得a＞4．
所以a的取值范围为（4，+∞）．
分析：（Ⅰ）由函数f（x）在定义域上是单调减函数，得f′（x）≤0在（0，+∞）上恒成立，进而可转化为函数最值问题解决；
（Ⅱ）由函数f（x）存在极值，得函数f（x）在（0，+∞）上有零点，可转化为方程f（x）=0在（0，+∞）上有根，
数形结合可得a满足的条件，设出其根，把所有极值和用a表示出来，令其大于，可解得a的范围．
点评：本题考查函数单调性与导数间的关系及函数取得极值的条件，考查数形结合思想，考查学生分析问题解决问题的能力．