Question

16．已知数列{b_n}满足b₁=1，b₂=3，b_n=$\frac{{{b}^{2}}_{n-1}+2}{{b}_{n-2}}$（n≥3），求数列{b_n}的通项公式．

Answer 1

分析 通过b_n=$\frac{{{b}^{2}}_{n-1}+2}{{b}_{n-2}}$（n≥3）可知${{b}_{n-1}}^{2}$+2=b_nb_n-2、${{b}_{n}}^{2}$+2=b_n+1b_n-1，两式相减整理可知b_n（b_n+b_n-2）=b_n-1（b_n+1+b_n-1），进而可知$\frac{{b}_{n}}{{b}_{n+1}+{b}_{n-1}}$=$\frac{{b}_{n-1}}{{b}_{n}+{b}_{n-2}}$=…=$\frac{{b}_{2}}{{b}_{3}+{b}_{1}}$=$\frac{1}{4}$，从而b_n+2-4b_n+1+b_n=0，变形可知b_n+2-$（2-\sqrt{3}）$b_n+1=$（2+\sqrt{3}）$[b_n+1-$（2-\sqrt{3}）$b_n]，进而可知b_n+1-$（2-\sqrt{3}）$b_n=$（1+\sqrt{3}）$•$（2+\sqrt{3}）^{n-1}$，再次变形可知数列{$\frac{{b}_{n}}{（2+\sqrt{3}）^{n}}$-$\frac{3-\sqrt{3}}{6}$}是首项为$\frac{9-5\sqrt{3}}{6}$、公比为$（2-\sqrt{3}）^{2}$的等比数列，计算即得结论．

解答 解：∵b₁=1，b₂=3，b_n=$\frac{{{b}^{2}}_{n-1}+2}{{b}_{n-2}}$（n≥3），
∴${{b}_{n-1}}^{2}$+2=b_nb_n-2，
${{b}_{n}}^{2}$+2=b_n+1b_n-1，
两式相减得：${{b}_{n}}^{2}-{{b}_{n-1}}^{2}$=b_n+1b_n-1-b_nb_n-2，
∴b_n（b_n+b_n-2）=b_n-1（b_n+1+b_n-1），
∴$\frac{{b}_{n}}{{b}_{n+1}+{b}_{n-1}}$=$\frac{{b}_{n-1}}{{b}_{n}+{b}_{n-2}}$=…=$\frac{{b}_{2}}{{b}_{3}+{b}_{1}}$=$\frac{3}{11+1}$=$\frac{1}{4}$，
∴b_n+2-4b_n+1+b_n=0，
变形得：b_n+2-$（2-\sqrt{3}）$b_n+1=$（2+\sqrt{3}）$[b_n+1-$（2-\sqrt{3}）$b_n]，
∴b_n+1-$（2-\sqrt{3}）$b_n=$（1+\sqrt{3}）$•$（2+\sqrt{3}）^{n-1}$，
∴$\frac{{b}_{n+1}}{（2+\sqrt{3}）^{n+1}}$-$（2-\sqrt{3}）$²•$\frac{{b}_{n}}{（2+\sqrt{3}）^{n}}$=$（1+\sqrt{3}）$•$（2-\sqrt{3}）^{2}$，
变形得：$\frac{{b}_{n+1}}{（2+\sqrt{3}）^{n+1}}$-$\frac{3-\sqrt{3}}{6}$=$（2-\sqrt{3}）$²•[$\frac{{b}_{n}}{（2+\sqrt{3}）^{n}}$-$\frac{3-\sqrt{3}}{6}$]，
∴数列{$\frac{{b}_{n}}{（2+\sqrt{3}）^{n}}$-$\frac{3-\sqrt{3}}{6}$}是首项为$\frac{9-5\sqrt{3}}{6}$、公比为$（2-\sqrt{3}）^{2}$的等比数列，
∴$\frac{{b}_{n}}{（2+\sqrt{3}）^{n}}$-$\frac{3-\sqrt{3}}{6}$=$\frac{9-5\sqrt{3}}{6}$•$（2-\sqrt{3}）^{2n-2}$，
∴b_n=$（2+\sqrt{3}）^{n}$[$\frac{3-\sqrt{3}}{6}$+$\frac{9-5\sqrt{3}}{6}$•$（2-\sqrt{3}）^{2n-2}$]．

点评 本题考查数列的通项，考查运算求解能力，对表达式的灵活变形是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于难题．