【题目】如图,在底面为平行四边形的四棱锥O﹣ABCD中,BC⊥平面OAB,E为OB中点,OA=AD=2AB=2,OB= .
(1)求证:平面OAD⊥平面ABCD;
(2)求二面角B﹣AC﹣E的余弦值.
【答案】
(1)证明:∵BC⊥平面OAB,OA平面OAB,
∴OA⊥BC,
又OA=2AB=2,OB= ,
在△OAB中,OA2+AB2=OB2,
∴OA⊥AB,
∴OA⊥平面ABCD,
又OA平面OAD,∴平面OAD⊥平面ABCD
(2)解:由(1)知OA,AB,AD两两垂直,
以A为坐标原点,分别以AD,AB,AO所在直线为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系A﹣xyz,
则A(0,0,0),C(2,1,0),O(0,0,2),B(0,1,0),E(0, ,1),
=(2,1,0), =(0, ,1),
设平面AEC的法向量 =(x,y,z),
则 ,取x=1,得 =(1,﹣2,1),
又平面ABC的法向量 =(0,0,1),
cos< >= = = ,
∴二面角B﹣AC﹣E的余弦值为 .
【解析】(1)由已知得OA⊥BC,OA⊥AB,从而OA⊥平面ABCD,由此能证明平面OAD⊥平面ABCD;(2)以A为坐标原点,分别以AD,AB,AO所在直线为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系A﹣xyz,利用向量法能求出二面角B﹣AC﹣E的余弦值.
【考点精析】解答此题的关键在于理解平面与平面垂直的判定的相关知识,掌握一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直.
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【题目】已知函数f(x)= ax2﹣(2a+1)x+2lnx(a∈R)
(1)当a= 时,求函数f(x)的单调区间;
(2)设g(x)=(x2﹣2x)ex , 如果对任意x1∈(0,2],均存在x2∈(0,2],使得f(x1)<g(x2)成立,求实数a的取值范围.
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【题目】空间四点A、B、C、D满足| |=3,| |=7,| |=11,| |=9,则 的取值为( )
A.只有一个
B.有二个
C.有四个
D.有无穷多个
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【题目】一半径为4米的水轮如图所示,水轮圆心O距离水面2米,已知水轮每60秒逆时针转动5圈,如果当水轮上点P从水中浮现时(图象P0点)开始计算时间,且点P距离水面的高度f(t)(米)与时间t(秒)满足函数:f(t)=Asin(ω+φ)+B(A>0,ω>0,|φ|< ).
(1)求函数f(t)的解析式;
(2)点P第二次到达最高点要多长时间?
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【题目】以下命题正确的是( )
A.经过空间中的三点,有且只有一个平面
B.空间中,如果两个角的两条边分别对应平行,那么这两个角相等
C.空间中,两条异面直线所成角的范围是(0, ]
D.如果直线l平行于平面α内的无数条直线,则直线l平等于平面α
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【题目】如图,在四棱锥P﹣ABCD中,侧面PAD⊥底面ABCD,侧棱PA=PD= ,底面ABCD为直角梯形,其中BC∥AD,AB⊥AD,AD=2AB=2BC=2,O为AD中点.
(1)求证:PO⊥平面ABCD;
(2)求异面直线PB与CD所成角的余弦值;
(3)线段AD上是否存在点Q,使得它到平面PCD的距离为 ?若存在,求出 的值;若不存在,请说明理由.
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【题目】已知平面向量 , 满足| |=1,| |=2.
(1)若 与 的夹角θ=120°,求| + |的值;
(2)若(k + )⊥(k ﹣ ),求实数k的值.
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【题目】已知等差数列{an}的公差d不等于0,Sn是其前n项和,给出下列命题:
①给定n(n≥2,且n∈N*),对于一切k∈N*(k<n),都有an﹣k+an+k=2an成立;
②存在k∈N* , 使得ak﹣ak+1与a2k+1﹣a2k﹣3同号;
③若d>0.且S3=S8 , 则S5与S6都是数列{Sn}中的最小项
④点(1, ),(2, ),(3, ),…,(n, )(n∈N*),…,在同一条直线上.
其中正确命题的序号是 . (把你认为正确的命题序号都填上)
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