Question

若（1-3x）²⁰¹⁰=a₀+a₁x+a₂x²+…+a₂₀₁₀x²⁰¹⁰（x∈R），则

a1

4

+

a2

42

+…+

a2010

42010

=

(

1

4

)2010-1

．

Answer 1

分析：由题意求得 a₀ 是（1-3x）²⁰¹⁰ 的展开式中的常数项，a₀=1，且 a_n 是展开式中xⁿ 的系数，可得 a₀、

a1

4

， 

a2

42

， …，

a2010

42010

是(1-

3

4

x )2010 的展开式中各项的系数，
故有

a1

4

+

a2

42

+…+

a2010

42010

=(1-

3

4

)2010-a₀，运算求得结果．

解答：解：由（1-3x）²⁰¹⁰=a₀+a₁x+a₂x²+…+a₂₀₁₀x²⁰¹⁰（x∈R），可得 a₀ 是（1-3x）²⁰¹⁰ 的展开式中的常数项，故 a₀=1．
且 a_n 是展开式中xⁿ 的系数，
∴a₀，

a1

4

， 

a2

42

， …，

a2010

42010

 是(1-

3

4

x )2010 的展开式中各项的系数，
∴

a1

4

+

a2

42

+…+

a2010

42010

=(1-

3

4

)2010-a₀=(

1

4

)2010-1．
故答案为 (

1

4

)2010-1．

点评：本题主要考查二项式定理的应用，求展开式中某项的系数，求得a₀、

a1

4

， 

a2

42

， …，

a2010

42010

是(1-

3

4

x )2010 的展开式中各项的系数，是解题的关键．