Question

已知函数f(x)=a+

2

bsin(x+

π

4

)的图象过点（0，1），当x∈[0，

π

2

]时，f（x）的最大值为2

2

-1．
（1）求f（x）的解析式；
（2）写出由f（x）经过平移 变换得到的一个奇函数g（x）的解析式，并说明变化过程．

Answer 1

分析：（1）利用函数f(x)=a+

2

bsin(x+

π

4

)的图象过点（0，1），求出一个关系式，通过x∈[0，

π

2

]时，f（x）的最大值为2

2

-1，讨论b的情况，求出a，b即可得到函数的解析式．
（2）由f（x）沿x轴向右平移

π

4

个单位再向上平移1个单位得g（x）．即可得到所求结果．

解答：解：（1）由题意f（0）=a+b①
又x∈[0，

π

2

]，则x+

π

4

∈[

π

4

，

3π

4

]，1≤

2

sin(x+

π

4

)≤

2

当b＞0时，fmax(x)=f(

π

4

)=a+

2

b=2

2

-1②由①②得a=-1，b=2
当b＜0时，fmax(x)=f(0)=a+b=2

2

-1③由①③得，a，b无解
所以f(x)=2

2

sin(x+

π

4

)-1
（2）由f(x)=2

2

sin(x+

π

4

)-1沿x轴向右平移

π

4

个单位再向上平移1个单位得g（x）．所以g(x)=2

2

sinx是奇函数，
所以由f（x）沿x轴向右平移

π

4

个单位再向上平移1个单位得g（x）．

点评：本题是基础题，考查函数解析式的求法，注意函数的最值的应用，考查三角函数的基本性质，考查逻辑推理能力，计算能力．