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1.如图,在斜三棱柱ABC-A1B1C1中,A1B⊥AC,且A1B=AC=5,AA1=BC=13,且AB=12.
(1)求证:平面ABB1A1⊥平面ACC1A1
(2)求二面角A-BB1-C的正切值的大小.

分析 (1)推导出AC⊥AB,A1B⊥AC,从而AC⊥平面ABB1A1,由此能证明平面ABB1A1⊥平面ACC1A1
(2)以B为原点,BA为x轴,在平面ABC中过B作BA的垂线为y轴,BA1为z轴,建立空间直角坐标系,利用向量法能求出二面角A-BB1-C的正切值.

解答 证明:(1)在△ABC中,∵AB2+AC2=BC2,∴AC⊥AB,…(2分)
又∵A1B⊥AC且A1B、AC是面ABB1A1内的两条相交直线,
∴AC⊥平面ABB1A1,..…(4分)
又AC?平面ACC1A1
∴平面ABB1A1⊥平面ACC1A1.…(5分)
解:(2)在△ABC中,∵${A_1}{B^2}+A{B^2}=A{A_1}^2$,∴A1B⊥AB,
又∵A1B⊥AC且AB、AC是面ABC内的两条相交直线,∴A1B⊥面ABC,…(7分)
∴以B为原点,BA为x轴,在平面ABC中过B作BA的垂线为y轴,BA1为z轴,
建立如图所示的空间直角坐标系,
则B(0,0,0),A(12,0,0),C(12,5,0),A1(0,0,5),
由$\overrightarrow{B{B_1}}=\overrightarrow{A{A_1}}$,得B1(-12,0,5),…(8分)
取平面ABB1A1的一个法向量$\overrightarrow{{n}_{1}}$=(0,1,0),
设平面BCC1B1的一个法向量$\overrightarrow{n_2}=(x,y,z)$,
由$\left\{{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n_2}•\overrightarrow{B{B_1}}=0}\\{\overrightarrow{n_2}•\overrightarrow{BC}=0}\end{array}}\right.$,得 $\left\{\begin{array}{l}-12x+5z=0\\ 12x+5y=0.\end{array}\right.$
取x=5,则$\overrightarrow{n_2}=(5,-12,12)$…(10分)
∴cos<$\overrightarrow{{n}_{1}},\overrightarrow{{n}_{2}}$>=$\frac{\overrightarrow{{n}_{1}}•\overrightarrow{{n}_{2}}}{|{\overrightarrow{{n}_{1}}}_{\;}|•|\overrightarrow{{n}_{2}}|}$=-$\frac{12}{\sqrt{313}}$,
设A-BB1-C的大小为θ,
则$cosθ=\frac{12}{{\sqrt{313}}}$,$tanθ=\frac{13}{12}$.
∴二面角A-BB1-C的正切值的大小为$\frac{13}{12}$…(12分)

点评 本题考查面面垂直的证明,考查二面角的正切值的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意向量法的合理运用.

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