Question

【题目】如图，一个圆心角为直角的扇形AOB 花草房，半径为1，点P 是花草房弧上一个动点，不含端点，现打算在扇形BOP 内种花，PQ⊥OA，垂足为Q，PQ 将扇形AOP 分成左右两部分，在PQ 左侧部分三角形POQ 为观赏区，在PQ 右侧部分种草，已知种花的单位面积的造价为3a，种草的单位面积的造价为2a，其中a 为正常数，设∠AOP=θ，种花的造价与种草的造价的和称为总造价，不计观赏区的造价，设总造价为f（θ）

（1）求f（θ）关于θ 的函数关系式；
（2）求当θ 为何值时，总造价最小，并求出最小值．

Answer 1

【答案】
（1）解：种花区的造价为 ，种草区的造价为 ，

故总造价f（θ）= （ ﹣θ）+（ ﹣ sinθcosθ）2α=（ ﹣ ﹣sinθcosθ）α，0＜θ＜

（2）解： =

令f'（θ）=0，得到

θ
f'（θ）	_	0	+
f（θ）	递减	极小值	递增

故当 时，总造价最小，且总造价最小为

【解析】（1）分别求出种花区的造价，种草区的造价，即可得到f（θ）关于θ 的函数关系式，（2）先求导，再根据导数和函数的最值得关系即可求出答案．
【考点精析】关于本题考查的扇形面积公式，需要了解若扇形的圆心角为，半径为，弧长为，周长为，面积为，则，，才能得出正确答案．