Question

1．设函数f（x）=|2x+2|-|x-2|．
（Ⅰ）求不等式f（x）＞2的解集；
（Ⅱ）若?x∈R，f（x）≥m恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通过讨论x的范围，去掉绝对值，从而解出不等式的解集；（Ⅱ）画出函数f（x）的图象，通过图象读出即可．

解答 解：（Ⅰ）∵$f（x）=\left\{\begin{array}{l}-x-4，x＜-1\\ 3x，-1≤x＜2\\ x+4，x≥2\end{array}\right.$，
当x＜-1时，-x-4＞2，解得x＜-6，∴x＜-6，
当-1≤x＜2时，3x＞2，解得$x＞\frac{2}{3}$，∴$\frac{2}{3}＜x＜2$，
当x≥2时，x+4＞2，解得x＞-2，∴x≥2，
综上，原不等式解集为$\left\{{x\left|{x＜6或x＞\frac{2}{3}}\right.}\right\}$．      
（Ⅱ）由f（x）的图象和单调性易得f（x）_min=f（-1）=-3，
若?x∈R，f（x）≥m恒成立，
则只需f（x）_min≥m⇒m≤-3，
故实数m的取值范围是（-∞，-3]．

点评 本题考查了绝对值不等式的解法，考查函数恒成立问题，考查数形结合思想，是一道中档题．