Question

（本小题满分14分）如图5，是△的重心，、分别是边、上的动点，且、、三点共线．（1）设，将用、、表示；
（2）设，，证明：是定值；
（3）记△与△的面积分别为、．求的取值范围．

Answer 1

(Ⅰ)   (Ⅱ)   （Ⅲ）

：（1）
．…2分
（2）一方面，由（1），得；①
另一方面，∵是△的重心，
∴   ②…4分
而、不共线，∴由①、②，得…6分
解之，得，∴（定值）．…………………8分
（3）．……………………10分
由点、的定义知，，
且时，；时，．此时，均有．
时，．此时，均有．
以下证明：．
（法一）由（2）知，
∵，∴．…………………………12分
∵，∴．
∴的取值范围．………………………………14分
（法二），
令，则，其中．
利用导数，容易得到，关于的函数在闭区间上单调递减，在闭区间上单调递增．………………………………12分
∴时，．
而或时，均有．
∴的取值范围．…………………………14分
注：也可以利用“几何平均值不小于调和平均值”来求最小值．