Question

已知数列a_n的前n项和，n∈N₊．
（1）求a_n的通项公式；
（2）设n∈N₊，集合A_n={y|y=a_i，i≤n，i∈N₊}，B={y|y=4m+1，m∈N₊}．现在集合A_n中随机取一个元素y，记y∈B的概率为p（n），求p（n）的表达式．

Answer 1

解：（1）因为，n∈N₊，所以．
两式相减，得，即，
∴a_n+1=3a_n，n∈N₊．（3分）
又，即，所以a₁=3．
∴a_n是首项为3，公比为3的等比数列．
从而a_n的通项公式是a_n=3ⁿ，n∈N₊．（6分）
（2）设y=a_i=3ⁱ∈A_n，i≤n，n∈N₊．
当i=2k，k∈N₊时，
∵y=3^2k=9^k=（8+1）^k=C_k⁰8^k+C_k¹8^k-1++C_k^k-18+C_k^k=4×2（C_k⁰8^k-1+C_k¹8^k-2++C_k^k-1）+1，∴y∈B．（9分）
当i=2k-1，k∈N₊时，
∵y=3^2k-1=3×（8+1）^k-1=3×（C_k-1⁰8^k-1+C_k-1¹8^k-2++C_k-1^k-28+C_k-1^k-1）
=4×6（C_k-1⁰8^k-2+C_k-1¹8^k-3++C_k-1^k-2）+3，∴y∉B．（12分）

又∵集合A_n含n个元素，
∴在集合A_n中随机取一个元素y，有y∈B的概率p（n）=．（14分）
分析：（1）直接根据a_n和S_n的关系：a_n=S_n-S_n-1 （n≥2）求解数列的通项公式（注意检验n=1是否成立）
（2）对i取奇数和偶数两种情况分别讨论求出对应的集合A_n，再求出对应的p（n）的表达式即可．
点评：本题考查了已知前n项和为S_n求数列{a_n}的通项公式，根据a_n和S_n的关系：a_n=S_n-S_n-1 （n≥2）求解数列的通项公式．另外，须注意公式成立的前提是n≥2，所以要验证n=1时通项是否成立，若成立则：a_n=S_n-S_n-1 （n≥1）；若不成立，则通项公式为分段函数．