Question

在直四棱柱ABCD－A₁B₁C₁D₁中，DB＝BC，DB⊥AC，点M是棱BB₁上一点．

(1)求证：B₁D₁∥平面A₁BD；
(2)求证：MD⊥AC；
(3)试确定点M的位置，使得平面DMC₁⊥平面CC₁D₁D.

Answer 1

(1)见解析. (2)见解析.(3)当点M为棱BB₁的中点时，平面DMC₁⊥平面CC₁D₁D.

试题分析：(1)由直四棱柱概念，得BB₁//DD₁，
得到四边形BB₁D₁D是平行四边形，从而B₁D₁∥BD，由直线与平面平行的判定定理即得证.
(2)注意到BB₁⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，推出BB₁⊥AC.
又BD⊥AC，即得AC⊥平面BB₁D₁D.而MD?平面BB₁D₁D，故得证.
(3)分析预见当点M为棱BB₁的中点时，符合题意.此时取DC的中点N，D₁C₁的中点N₁，连接NN₁交DC₁于O，连接OM，证得BN⊥DC.又DC是平面ABCD与平面DCC₁D₁的交线，而平面ABCD⊥平面DCC₁D₁，推出BN⊥平面DCC₁D₁.又可证得，O是NN₁的中点，由四边形BMON是平行四边形，得出OM⊥平面CC₁D₁D，得证.
试题解析：(1)由直四棱柱概念，得BB₁//DD₁，
∴四边形BB₁D₁D是平行四边形，∴B₁D₁∥BD.
而BD?平面A₁BD，B₁D₁?平面A₁BD，∴B₁D₁∥平面A₁BD.
(2)∵BB₁⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，∴BB₁⊥AC.
又∵BD⊥AC，且BD∩BB₁＝B，∴AC⊥平面BB₁D₁D.
而MD?平面BB₁D₁D，∴MD⊥AC.

(3)当点M为棱BB₁的中点时，取DC的中点N，D₁C₁的中点N₁，连接NN₁交DC₁于O，连接OM，如图所示．
∵N是DC的中点，BD＝BC，∴BN⊥DC.又∵DC是平面ABCD与平面DCC₁D₁的交线，而平面ABCD⊥平面DCC₁D₁，∴BN⊥平面DCC₁D₁.
又可证得，O是NN₁的中点，∴BM∥ON且BM=ON，即四边形BMON是平行四边形，∴BN∥OM，∴OM⊥平面CC₁D₁D，因为OM?面DMC₁，所以平面DMC₁⊥平面CC₁D₁D.