Question

（1）已知等边三角形的两顶点坐标分别是（x₁，y₁）、（x₂，y₂），求第三个顶点的坐标（用含x₁，y₁，x₂，y₂）的代数式表示；
（2）已知正方形的两顶点坐标分别是（x₁，y₁）、（x₂，y₂），求第三、四顶点的坐标（用含x₁，y₁，x₂，y₂）的代数式表示．

Answer 1

考点：平面向量的坐标运算

专题：平面向量及应用

分析：（1）设C（x，y），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由于△ABC是等边三角形，可得

BA

•（cos（-60°）+isin（-60°））=

BC

，利用复数与向量的运算即可得出．
（2）①假设坐标A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）是相邻两坐标，设C（x₃，y₃），D（x₄，y₄）．利用

AD

=

AB

•(cos(-

π

2

)+isin(-

π

2

)）．

AC

=

AB

•

2

(cos(-

π

4

)+isin(-

π

4

))
②假设坐标A（x₁，y₁），C（x₂，y₂）是相对两坐标，设B（x₃，y₄），D（x₄，y₄）．同理可得：B，D的坐标．

解答： 解：（1）设C（x，y），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∵△ABC是等边三角形，只考虑逆时针旋转．
∴

BA

•（cos（-60°）+isin（-60°））=

BC

，
化为

BC

=[（x₁-x₂）+i（y₁-y₂）]•(

1

2

-

3

2

i)=（

x1-x2

2

+

3 (y1-y2)

2

，

(y1-y2)- 3 (x1-x2)

2

）
∴x_C=x₂+

x1-x2

2

+

3 (y1-y2)

2

=

x1+x2+ 3 (y1-y2)

2

，
y_C=y₂+

(y1-y2)- 3 (x1-x2)

2

=

(y1+y2)- 3 (x1-x2)

2

．
∴C（

x1+x2+ 3 (y1-y2)

2

，

(y1+y2)- 3 (x1-x2)

2

）．
（2）①假设坐标A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）是相邻两坐标，设C（x₃，y₃），D（x₄，y₄）．
则

AD

=

AB

•(cos(-

π

2

)+isin(-

π

2

)）=[（x₂-x₁）+（y₂-y₁）i]•（-i）=（y₂-y₁，x₂-x₁）．
∴x_D=x₁+y₂-y₁，y_D=y₂+x₂-x₁，即D（x₁+y₂-y₁，y₁+x₂-x₁）．

AC

=

AB

•

2

(cos(-

π

4

)+isin(-

π

4

))=（x₂-x₁+y₂-y₁，y₂-y₁-x₂+x₁），
∴C（x₂+y₂-y₁，y₂-x₂+x₁）．
②假设坐标A（x₁，y₁），C（x₂，y₂）是相对两坐标，设B（x₃，y₄），D（x₄，y₄）．
同理可得：B(

x2+x1-y2+y1

2

，

x2-x1+y1+y2

2

)，D(

x1+x2+y2-y1

2

，

x1-x2+y2+y1

2

)．

点评：本题考查了综合三角形与正方形的性质、复数与向量的对应关系及其旋转，考查了数形结合的思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．