Question

【题目】若奇函数f（x）在其定义域R上是减函数，且对任意的x∈R，不等式f（cos2x+sinx）+f（sinx﹣a）≤0恒成立，则a的最大值是 ．

Answer 1

【答案】﹣3
【解析】解：不等式f（cos2x+sinx）+f（sinx﹣a）≤0恒成立，即f（cos2x+sinx）≤﹣f（sinx﹣a）恒成立 又∵f（x）是奇函数，﹣f（sinx﹣a）=f（﹣sinx+a）
∴不等式f（cos2x+sinx）≤f（﹣sinx+a）在R上恒成立
∵函数f（x）在其定义域R上是减函数，
∴cos2x+sinx≥﹣sinx+a，即cos2x+2sinx≥a
∵cos2x=1﹣2sin2x，∴cos2x+2sinx=﹣2sin2x+2sinx+1，
当sinx=﹣1时cos2x+2sinx有最小值﹣3．
因此a≤﹣3，a的最大值是﹣3
所以答案是：﹣3
【考点精析】通过灵活运用奇偶性与单调性的综合和二倍角的余弦公式，掌握奇函数在关于原点对称的区间上有相同的单调性；偶函数在关于原点对称的区间上有相反的单调性；二倍角的余弦公式：即可以解答此题．