Question

6．已知a＞0，函数$f（x）=\left\{{\begin{array}{l}{-\frac{1}{3}{x^3}+\frac{1-a}{2}{x^2}+ax-\frac{4}{3}，x≤1}\\{（a-1）lnx+\frac{1}{2}{x^2}-ax，x＞1}\end{array}}\right.$若f（x）在区间（-a，2a）上单调递增，则实数a的取值范围是（0，$\frac{10}{9}$]．

Answer 1

分析 讨论f（x）在（-∞，1]递增，区间（-a，2a）⊆（-∞，1]，求得f（x）的导数，令f′（x）≥0在区间（-a，2a）上恒成立，即有f′（-a）≥0且f′（2a）≥0；若f（x）在（-∞，+∞）递增，则f（x）在x＞1递增，求得导数，令导数大于等于0，可得a的范围；注意-$\frac{1}{3}$+$\frac{1-a}{2}$+a-$\frac{4}{3}$≤（a-1）ln1+$\frac{1}{2}$-a，解不等式求交集，即可得到所求范围．

解答 解：当x≤1时，f（x）=-$\frac{1}{3}$x³+$\frac{1-a}{2}$x²+ax-$\frac{4}{3}$的导数为f′（x）=-x²+（1-a）x+a，
若f（x）在区间（-a，2a）上单调递增，且2a≤1，
则f′（x）≥0在区间（-a，2a）上恒成立，
即有x²-（1-a）x-a≤0，
可得（-a）²-（1-a）（-a）-a≤0，且（2a）²-2（1-a）a-a≤0，
解得0＜a≤$\frac{1}{2}$；①
若f（x）在（-∞，+∞）递增，
即有f（x）在（1，+∞）递增，
即有f（x）=（a-1）lnx+$\frac{1}{2}$x²-ax的导数$\frac{a-1}{x}$+x-a≥0在（1，+∞）恒成立．
即有（x-1）（x-a+1）≥0在（1，+∞）恒成立．
即有a-1≤1，即a≤2；②
又-$\frac{1}{3}$+$\frac{1-a}{2}$+a-$\frac{4}{3}$≤（a-1）ln1+$\frac{1}{2}$-a，
解得a≤$\frac{10}{9}$．③
由①②③可得0＜a≤$\frac{10}{9}$．
故答案为：（0，$\frac{10}{9}$]．

点评 本题考查分段函数的单调性的判断，考查导数的运用：求单调性，考查分类讨论思想方法，考查化简整理能力，属于中档题．