Question

如图，已知正方形ABCD的边长为2，点E为边AD的中点，以AE为边向外作正方形AEFG，现将正方形AEFG绕点A按顺时针方向转动至AE与AB重合，则

CE

•

DF

的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算

专题：计算题,三角函数的求值,平面向量及应用

分析：设正方形AEFG绕着点A转到AE'的角EAE'为θ（0°≤θ≤90°），运用向量的三角形法则，及向量的数量积的定义，结合诱导公式和两角和的正弦公式，化简可得

CE′

•

DF′

=5-2

5

sin（θ+α）（tanα=

1

2

，α为锐角），再由θ的范围和正弦函数的图象和性质，即可得到取值范围．

解答： 解：设正方形AEFG绕着点A转到AE'的角EAE'为θ（0°≤θ≤90°），
则

CE′

•

DF′

=（

AE′

-

AC

）•（

AF′

-

AD

）
=

AE′

•

AF′

-

AE′

•

AD

-

AC

•

AF′

+

AC

•

AD

=1×

2

×cos45°-1×2cosθ-2

2

×

2

cos（90°-θ）+2

2

×2×

2

2

=1+4--2cosθ-4sinθ=5-2

5

sin（θ+α）（tanα=

1

2

，α为锐角），
α≤θ+α≤90°+α，则sinα≤sin（θ+α）≤1，
由tanα=

1

2

，α为锐角，解得，sinα=

1

5

，
则5-2

5

sin（θ+α）∈[5-2

5

，3]．
故答案为：[5-2

5

，3]．

点评：本题考查平面向量的数量积的定义，考查三角函数的化简，考查正弦函数的图象和性质，考查运算能力，属于中档题和易错题．