Question

19、已知数列{a_n}，其前n项和S_n满足S_n+1=2λS_n+1（λ是大于0的常数），且a₁=1，a₃=4．
（1）求λ的值；
（2）求数列{a_n}的通项公式a_n；
（3）设数列{na_n}的前n项和为T_n，求T_n．

Answer 1

分析：（1）由S_n+1=2λS_n+1知S₂=2λS₁+1=2λa₁+1=2λ+1，S₃=2λS₂+1=4λ²+2λ+1，由此可求出λ=1．
（2）由题意可知S_n+1=2•2^n-1，∴S_n=2ⁿ-1，由此可知a_n=2^n-1．
（3）由题意知T_n=1•2⁰+2•2¹+3•2²++（n-1）•2^n-2+n•2^n-1，2T_n=1•2+2•2²++（n-2）•2^n-2+（n-1）•2^n-1+n•2ⁿ，由此可知T_n的值．

解答：解：（1）由S_n+1=2λS_n+1得S₂=2λS₁+1=2λa₁+1=2λ+1，S₃=2λS₂+1=4λ²+2λ+1，∴a₃=S₃-S₂=4λ²，∵a₃=4，λ＞0，∴λ=1．（5分）
（2）由S_n+1=2S_n+1整理得S_n+1+1=2（S_n+1），
∴数列{S_n+1}是以S₁+1=2为首项，以2为公比的等比数列，
∴S_n+1=2•2^n-1，∴S_n=2ⁿ-1，
∴a_n=S_n-S_n-1=2^n-1（n≥2），
∵当n=1时a₁=1满足a_n=2^n-1，∴a_n=2^n-1．（10分）
（3）T_n=1•2⁰+2•2¹+3•2²++（n-1）•2^n-2+n•2^n-1，①2T_n=1•2+2•2²++（n-2）•2^n-2+（n-1）•2^n-1+n•2ⁿ，②
①-②得-T_n=1+2+2²++2^n-2+2^n-1-n•2ⁿ，
则T_n=n•2ⁿ-2ⁿ+1．（14分）

点评：本题考查数列性质和应用，解题时要注意计算能力的培养．