Question

已知关于x的方程x²+bx+c=0
（Ⅰ）若b和c分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数，求方程x²+bx+c=0有实根的概率；
（Ⅱ）若b∈[-1，1]，c∈[-1，1]，方程x²+bx+c=0的两个实根为x₁、x₂，求x₁∈（-1，0）且x₂∈（0，1）的概率．

Answer 1

解：（I）将一枚骰子抛掷两次，若先后出现的点数分别为b，c，共有36种结果：
（1，1）（1，2）（1，3）（1，4）（1，5）（1，6）（2，1）（2，2）（2，3）（2，4）（2，5）（2，6）（3，1）（3，2）（3，3）（3，4）（3，5）（3，6）（4，1）（4，2）（4，3）（4，4）（4，5）（4，6）（5，1）（5，2）（5，3）（5，4）（5，5）（5，6）（6，1）（6，2）（6，3）（6，4）（6，5）（6，6），
属于古典概率模型．
记“方程x²+bx+c=0有实根”为事件A，则△=b²-4c≥0?b≥2，
A包含的结果有：（2，1）（3，1）（4，1）（5，1）（6，1）（3，2）（4，2）（5，2）（6，2）（4，3）（5，3）（6，3）（4，4）（5，4）（6，4）（5，5）（6，5）（5，6）（6，6）共19种结果，
由古典概率的计算公式可得，方程x²+bx+c=0有实根的概率P（A）=．
（II）设f（x）=x²+bx+c，
方程x²+bx+c=0的两个实根为x₁、x₂，且x₁∈（-1，0）且x₂∈（0，1）等价于：
?，
在b-O-c系中画出此不等式表示的平面区域，图中三角形区域，
又b∈[-1，1]，c∈[-1，1]，它表示的平面区域是一个正方形，如图，
根据几何概型可得，x₁∈（-1，0）且x₂∈（0，1）的概率P==．
分析：（I）先根据题中的条件可判断属于古典概率模型，然后分别求解试验产生的所有结果n，基本事件的结果数m，代入古典概率模型的计算公式P（A）=进行计算；
（II）设f（x）=x²+bx+c，将方程x²+bx+c=0的两个实根为x₁、x₂，且x₁∈（-1，0）且x₂∈（0，1）等价转化为：化简得，再在b-O-c系中画出此不等式表示的平面区域，根据几何概型所求概率．
点评：本题主要考查了几何概型、古典概率的求解．古典概率类型题的求解有两点：①首先清楚古典概率模型的特征：结果有限且每种结果等可能出现②古典概率的计算公式：P（A）=（其中n是试验的所有结果，m是基本事件的结果数．本题考查几何概型的概率，在解题过程中主要应用图解法来表示出所有的满足条件的区域，这是本题的精华部分．