Question

已知f，且f（x）=
（1）当a=1时，求f（x）的解析式；
（2）在（1）的条件下，若方程f（x）-m=0有4个不等的实根，求实数m的范围；
（3）当2≤a＜9时，设f（x）=f₂（x）所对应的自变量取值区间的长度为l（闭区间[m，n]的长度定义为n-m），试求l的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）当a=1时，根据函数f₁（x）和函数f₂（x）的解析式以及条件f（x）=可得f（x）的解析式．
（2）在（1）的条件下，由题意可得，函数y=f（x）与直线y=m有4个不同的交点，数形结合可得实数m的范围．
（3）由于2≤a＜9，分 x≥时、当0≤x≤时、当x＜0时，分别由 f₂（x）-f₁（x）≤0 求得x的范围，再把所得的x的范围取并集，从而得到区间长度l的解析式，
再根据函数的单调性求得l的最大值．
解答：解：（1）当a=1时，f₁（x）=，f₂（x）=，∴当x=log₃5时，f₁（x）=f₂（x）．
∴f（x）=．
（2）在（1）的条件下，若方程f（x）-m=0有4个不等的实根，则函数y=f（x）与直线y=m有4个不同的交点．
数形结合可得，0＜m＜1，故实数m的范围是（0，1）．
（3）由于2≤a＜9，当 x≥时，∵a•3^x-9≥0，3^x-1＞0，
∴由 f₂（x）-f₁（x）=（a•3^x-9）-（ 3^x-1）≤0 可得 x≤，
从而当≤x≤ 时，f（x）=f₂（x）．
当0≤x≤时，∵a•3^x-9＜0，3^x-1≥0，
∴由 f₂（x）-f₁（x）=-（a•3^x-9）-（ 3^x-1）=10-（a+1）3^x≤0 解得 x≥，
从而当 ≤x≤时，f（x）=f₂（x）．
当x＜0时，由 f₂（x）-f₁（x）=-（a•3^x-9）-（1-3^x）=8-（a-1）3^x＞0，故f（x）=f₂（x） 一定不成立．
综上可得，当且仅当 x∈[，]时，有f（x）=f₂（x） 一定成立．
故 l=-=，
从而当a=2时，l取得最大值为 ．
点评：本题主要考查对数函数、指数函数的图象和性质综合应用，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．