Question

已知函数f（x）=|x-a|，g（x）=x²+2ax+1（a为正常数），且函数f（x）与g（x）的图象在y轴上的截距相等．
（I）求a的值；
（II）求函数h（x）=f（x）+g（x）的单调递增区间．

Answer 1

分析：（I）由已知中函数f（x）与g（x）的图象在y轴上的截距相等，结合函数f（x）=|x-a|，g（x）=x²+2ax+1（a为正常数），我们可以构造关于a的方程，解方程可以求出a的值
（II）由（1）中结论，我们可以得到函数h（x）=f（x）+g（x）的解析式，利用零点分段法，我们可以将其转化为分段函数的形式，再由二次函数的性质，即可分析出函数的单调递增区间．

解答：解：（I）∵函数f（x）与g（x）的图象在y轴上的截距相等
∴f（0）=g（0），即|a|=1…（2分）
又a＞0，所以a=1．           …（4分）
（II） 由（I）可知f（x）=|x-1|，g（x）=x²+2x+1…（6分）
∴h(x)=f( x )+g( x )=|x-1|+x2+2x+1=

(x+ 1 2 )2+ 7 4 ，x＜1 (x+ 3 2 )2- 9 4 ，x≥1

…（9分）
∴h(x)在[-

1

2

，1)和[1，+∞)上都是单调递增函数．，…（11分）
又∵(1+

1

2

)2+

7

4

=(1+

3

2

)2-

9

4

，
∴h(x)在[-

1

2

，+∞)上是单调递增函数．…（13分）
故h(x)的单调递增区间为[-

1

2

，+∞)…（14分）

点评：本题考查的知识点是函数与方程的综合运用，函数的单调性及单调区间，零点分段法，二次函数的性质，其中利用零点分段法将函数的解析式化为分段函数的形式，进而转化为二次函数单调性的判断问题是解答本题的关键．