Question

已知向量

a

=（1，2），

b

=（-3，2），向量

x

=k

a

+

b

，

y

=

a

-3

b

（1）当k为何值时，向量

x

⊥

y

；
（2）若向量

x

与

y

的夹角为钝角，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析：（1）利用

x

⊥

y

，?

x

•

y

=10（k-3）-4（2k+2）=0，解得k即可．
（2）向量

x

与

y

的夹角为钝角?

x

•

y

＜0，并去掉共线反向的情况即可．

解答：解：（1）

x

=k(1，2)+(-3，2)=（k-3，2k+2），

y

=(1，2)-3(-3，2)=（10，-4），
∵

x

⊥

y

，∴

x

•

y

=10（k-3）-4（2k+2）=0，解得k=19．
∴当k=19时，向量

x

⊥

y

；
（2）∵

x

•

y

=2k-38，由cos＜

x

，

y

＞=

x • y

| x | | y |

＜0，∴2k-38＜0，解得k＜19．
由-（2k-38）=

(k-3)2+(2k+2)2

•

102+42

，化为（3k+1）²=0，解得k=-

1

3

．
∴当k=-

1

3

时，

x

与

y

共线反向，为平角，应舍去．
∴当k＜19且k≠-

1

3

时，向量

x

与

y

的夹角为钝角．

点评：熟练掌握

x

⊥

y

，?

x

•

y

=0，向量

x

与

y

的夹角为钝角?

x

•

y

＜0，并去掉共线反向的情况，是解题的关键．