Question

【题目】如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，平面，是棱上的一点，满足平面.

（Ⅰ）证明：；

（Ⅱ）设，，若为棱上一点，使得直线与平面所成角的大小为30°，求的值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）证明见解析（Ⅱ）

【解析】

（Ⅰ）由平面，可得，又因为是的中点，即得证；

（Ⅱ）如图建立空间直角坐标系，设，计算平面的法向量，由直线与平面所成角的大小为30°，列出等式，即得解.

（Ⅰ）如图，

连接交于点，连接，

则是平面与平面的交线，

因为平面，

故，

又因为是的中点，

所以是的中点，

故.

（Ⅱ）由条件可知，，所以，故以为坐标原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，

则，，，，，，，

设，

则，

设平面的法向量为，

则，即，故取

因为直线与平面所成角的大小为30°

所以，

即，

解得，故此时.