Question

1．已知双曲线C₁：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F₁，F₂，点M在双曲线C₁的一条渐近线上，且OM⊥MF₂，若△OMF₂的面积为16，且双曲线C₁与双曲线C₂：$\frac{{x}^{2}}{16}$-$\frac{{y}^{2}}{4}$=1的离心率相同，则双曲线C₁的实轴长为（　　）

• A． 32
• B． 16
• C． 8
• D． 4

Answer 1

分析 由双曲线C₁的一条渐近线为y=$\frac{b}{a}$x，利用点到直线的距离公式可知：丨F₂M丨=$\frac{bc}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}$=b，丨OM丨=$\sqrt{{c}^{2}-{b}^{2}}$=a，△OMF₂的面积S=$\frac{1}{2}$丨F₂M丨•丨OM丨=16，则ab=32，双曲线C₂的离心率e=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，即可求得a和b的值，双曲线C₁的实轴长2a=16．

解答 解：由双曲线C₁：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的一条渐近线为y=$\frac{b}{a}$x，
∵OM⊥MF₂，F₂（c，0），
∴丨F₂M丨=$\frac{bc}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}$=b，
∵丨OF₂丨=c，丨OM丨=$\sqrt{{c}^{2}-{b}^{2}}$=a△OMF₂的面积S=$\frac{1}{2}$丨F₂M丨•丨OM丨=$\frac{1}{2}$ab=16，则ab=32，
双曲线C₂：$\frac{{x}^{2}}{16}$-$\frac{{y}^{2}}{4}$=1的离心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{2\sqrt{5}}{4}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
∴e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}{a}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，解得：a=8，b=4，
双曲线C₁的实轴长2a=16，
故选B．

点评 本题考查双曲线的标准方程及简单几何性质，考查分析问题及解决问题的能力，属于中档题．